Second-order rational model projector calibration method based on phase assistance
附图说明 为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。 图1为本发明的流程示意图。 图2为本发明投影仪标定系统的结构示意图。 图3为本发明实施例中标定板的结构示意图。 图4为本发明水平、垂直方向的格雷编码的示意图。 图5为本发明正弦光栅条纹的示意图，其中，(a)为水平方向，(b)为垂直方向。 图6为本发明实施例中的重投影误差图。 图7为本发明相机与投影仪空间相对位置关系示意图。 技术领域 本发明涉及机器视觉中投影仪标定的技术领域，尤其涉及一种基于相位辅助的二阶有理模型投影仪标定方法。 具体实施方式 下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。 如图1所示，一种基于相位辅助的二阶有理模型投影仪标定方法，首先，制作同心圆阵靶标，搭建面结构光三维检测系统，保证标定板特征点在相机拍摄有效范围，投影仪生成格雷编码和正弦光栅分别至标定板表面并被相机拍摄，变换位姿重复此步骤不少于三次；其次将格雷编码与相移分别解码后，利用解码周期相位展开得到绝对相位，使用圆心提取算法计算圆点相机图像坐标，并映射至绝对相位图得到每个整数圆心像素坐标对应的绝对相位值，由相机图像整数坐标与绝对相位值拟合建立二阶有理模型；最后将亚像素相机图像坐标代入二阶有理模型计算对应的绝对相位值，利用该值求解投影仪图像坐标，完成投影仪标定。本发明具体实施步骤： S1：制作同心圆阵的标定板。如图3所示，所述同心圆阵为同心圆构成的矩形阵，每一行和每一列的同心圆的圆心在一条直线上，其中有5个基准同心圆和多个参考同心圆，基准同心圆的最外圆直径大于参考同心圆的最外圆直径、小于相邻同心圆点间距，基准同心圆在一条直线上不超过两个，且基准同心圆和所述参考同心圆的同心圆区域与背景反色。在二维标定靶中圆形特征检测鲁棒性更高，同心圆具有比圆更丰富的几何特性，利用空间约束信息更加精准提取圆心位置。 S2：搭建包括相机、投影仪、工作台和夹具机构的面结构光三维检测系统，如图2所示的投影仪标定系统，其中，相机和投影仪由夹具机构夹紧放置，且相机倾斜放置，投影仪的镜头正对工作台，放置于桌面，在工作台放置步骤S1中的同心圆阵标定板，调整投影仪位置使其对焦在同心圆阵标定板并保证相机可拍摄到投影仪的全部投射幅面。 相机与标定板的距离约为amm，相机与投影仪的距离约为bmm，相机与投影仪以及标定板的关系为投影仪投射的光栅条纹以及标定板的特征点被相机拍摄。相机与投影仪通过连接线分别与电脑相连接。 S3：将标定板的有效区域放置于相机可视范围，投影仪分别投射如图4与图5的横向和纵向的格雷编码与正弦光栅条纹的图案至标定板，由相机采集保存。多次变换标定板的位姿，获得多幅标定板图像，重复此步骤不少于三次，获取更多的标定数据以改善标定精度。 如图3所示本发明制作的同心圆阵靶标为矩阵，共有99个同心圆组成9×11的矩形阵，其中有5个基准同心圆，其他为参考同心圆，以第1、9行，第1,11列的同心圆定义为边界同心圆，以边界同心圆分别在x,y方向上向外1个圆心距组成的矩形区域为标定板的有效区域。 投影仪向标定板分别投射横向和纵向的7幅格雷编码图案与4幅3个频率的四步相移正弦光栅条纹，由此方法进行相位展开，来获得绝对相位，既能减小条纹阶次相位展开误差，又可以加快解码速度。 S4：对每组标定板图像进行相位计算得到每组标定板图像的同心圆阵标定板圆心位置的横向绝对相位图与纵向绝对相位图；根据圆心提取算法求取同心圆阵的圆心相机图像坐标(u0,v0)，并将其映射至横向绝对相位图及纵向绝对相位图，得到每个圆心相机图像坐标对应的绝对相位值[φ(s),φ(t)]。 在格雷编码与正弦光栅结合求取绝对相位时，格雷编码光栅的最小周期是正弦光栅周期的4倍，理想条件下，格雷编码周期边界与包裹相位边缘严格对齐，但在实际测量环境中，受到相机离焦，环境噪声等影响，格雷编码阶跃点与包裹相位边缘发生错位，导致相位展开精度降低，采用互补格雷码方式，在6位格雷码图像的基础上，额外投射一张条纹宽度为6位格雷码一半的互补格雷码图，其前6位格雷码图像按传统方式解码，而互补格雷码图像为不同方式解码，这样使两种编码出现误码位置不同，有效避免了边界位置不连续现象。相机拍摄黑色、白色各一幅图片，将两张图片灰度平均值作为格雷编码二值化处理的阈值，对四步相移解码求取包裹相位，通过格雷编码条纹阶次确定相位展开周期，利用解码周期相位展开得到绝对相位图。 正弦光栅包裹相位取值范围为(-π,π)，在区间(-π/2,π/2)对前6位格雷码光栅图案解码，在区间(-π,-π/2]，[π/2,π)对7幅格雷码图案进行解码，以此得到连续、无歧义的绝对相位。且k1为前6位格雷码图案解码，k2为7幅格雷码图案解码。 包裹相位式中Ii分别为四步相移光栅强度。绝对相位图中式中k1为前6位格雷码图像解码，k2为互补格雷码图像解码。 利用圆心提取算法求取同心圆阵的圆心相机图像坐标(u0,v0)，圆心相机图像坐标为亚像素级，绝对相位图的映射关系为像素级，须将圆心坐标取整转换为像素级(u,v)且得到横向、纵向绝对相位图中每个圆心坐标(u,v)对应的绝对相位值[φ(s),φ(t)]。 S5：由每组标定板图像的同心圆阵标定板圆心位置像素级坐标(u,v)与其对应的绝对相位值[φ(s),φ(t)]拟合建立二阶有理模型。 利用圆心对应水平、垂直方向的绝对相位值[φ(s),φ(t)]、圆心位置像素级坐标(u,v)代入二阶有理函数： 其中，φ(s)和φ(t)分别为水平和垂直方向的展开相位，(u,v)表示相机像素级坐标即步骤S4将圆心坐标取整转换为像素级(u,v)，a0～a5、b1～b5、c1～c5都为常数系数。分母的系数即a0～a5不取决于条纹节距和方向，因此在两个方程中是相同的。对于各项常数系数的求解转换为最小二乘法矩阵形式，令： 方程组记为： X·A＝Y (5) 直接使用最小二乘拟合易出现奇异病态矩阵情况，使用奇异值分解矩阵X降低最小二乘条件数： X＝USVT (6) 其中，U为XXT特征向量张成的一个矩阵，V为XTX特征向量张成的一个矩阵，矩阵U与矩阵V都是正交矩阵，S为XXT或XTX特征值的平方根，即奇异值。将公式(6)与公式(5)联合得到： A＝VS-1U'Y (7)。 S6：将圆心相机图像坐标(u0,v0)代入二阶有理模型求取绝对相位值[φ(s)0,φ(t)0]，将其转换得到投影仪图像坐标(s,t)，完成投影仪标定。 将亚像素级圆心坐标(u0,v0)代入二阶有理模型计算出其对应的绝对相位值[φ(s)0,φ(t)0]，转换为投影仪图像坐标(s,t)为： 其中，(s,t)表示投影仪图像坐标，M,N分别为投影仪图像中水平和垂直方向的光栅的条纹宽度。 为了更加清楚的理解本发明的优越性，结合实施例的具体步骤进行了实际实验来验证。方法一为投影仪标定传统方法，方法二为参考文献[1]---[Zhang W,Li W,Yu L,etal.Sub-pixel projector calibration method for fringe projection profilometry[J].Optics Express,2017,25(16):19158.]中利用交比不变性的投影仪标定方法，方法三为参考文献[2]---[Xing S,Guo H.Iterative calibration method for measurementsystem having lens distortions in fringe projection profilometry[J].OpticsExpress,2020,28(2):1177.]中使用了迭代畸变校正优化标定精度。表1列出本发明和其他三种方法标定精度的比较结果。在投影仪校准中，通常采用重新投影误差来测量校准数据与校准参数之间的匹配程度。通过表1可以看出，本发明的标定精度均小于其他三种方法，相比于传统投影仪标定方法，本发明所提方法在水平方向和垂直方向的标定精度分别提高了74.2％与74.4％，能够完成影仪的精确标定。 表1不同方法投影仪重投影误差(单位：像素)
注：重投影误差指真实图像检测的二维圆点坐标与按照模型计算得到的二维圆点坐标差值。 同时，利用MATLAB软件实现本程序编写，表2给出四种方法程序的运行时间,本发明的运行时间分别比方法二与方法三快247％与365％。 表2不同方法程序运行时间(单位：秒)
使用不同位置的同心圆阵标定板得到相机与投影仪的外部参数，其标定结果如图7所示，图7中显示了相机与投影仪的空间相对位置关系。 综上所述，本发明的同心圆标定板适用多个视场，可采用不同空间约束算法提取圆心位置，制作成本低；通过二阶有利模型拟合进行投影仪标定的方式不需要低失真的高质量透镜就可完成高精度测量，降低系统测量的成本。在程序运行时间上均优于现有算法，标定效率高。 以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。 背景技术 随着传感技术、光学技术、计算机技术、电子科学技术和图像处理技术的快速发展，通过计算机视觉获得物体表面三维信息在众多领域得到广泛应用。非接触式三维测量技术特别是结构光三维测量技术以全场扫描、效率高、测量时间短等优点在工业和商业越来越受欢迎。 典型的结构光三维系统包括一个相机和一个投影仪。相机的镜头是一个凸透镜，物体的光经过凸透镜在感光原件表面成型。投影仪是将光照射到图像的显示元件上以产生图像，然后通过凸透镜投影放大图像。投影仪的成像方法和光学结构与相机相反，因此将投影仪光学模型当作反向的相机系统，借助成熟的相机标定方法完成投影仪标定。 系统标定精度影响三维测量的精度，传统的系统标定包括相机标定与投影仪标定。然而，这种方法依赖于相机校准的好坏结果，这会使相机校准误差永久化并扩大，限制了系统误差精度，并且存在理论缺陷。另一种方法是投影仪将一组条纹图案投射至标定板，并由相机捕捉图像并解码。根据相位信息计算投影仪图像坐标，标定板的世界坐标已知，可利用张正友在文献[A flexible new technique for camera calibration.IEEETransactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,2000,22(11):1330-1334]提出的相机标定方法进行投影仪标定，由此完成投影仪校准。这种方法不需要相机标定结果，避免误差的二次传递，其中相机图像坐标到投影仪图像坐标的单应性关系是影响标定精度的关键。Zhang等人提出投影仪“捕获”图像的想法，使用相位信息和图像坐标计算投影仪像素坐标，标定结果独立于相机校准，但是没有考虑投影仪是非线性设备，没有进行相位误差补偿。李中伟通过使用预先校准的查找表方法补偿相位误差，解决了光栅条纹的非正弦化问题，但是建立查找表的方法操作复杂，在计算投影仪图像坐标是基于像素级映射，限制三维测量精度。Xing等人利用有理函数模型计算投影仪亚像素映射的像素坐标，但该方法需要迭代矫正透镜畸变误差，这是一个复杂的过程，计算时间久。针对存在的以上投影仪标定方法研究，寻找一种考虑到镜头失真且高效率的通用投影仪标定方法很有必要。 发明内容 针对现有投影仪标定方法的计算复杂大、测量精度的技术问题，本发明提出一种基于相位辅助的二阶有理模型投影仪标定方法，将参数通过非线性拟合的方式以亚像素级计算出投影仪坐标，不必因为透镜畸变因素进行畸变矫正，提高投影仪标定精度，且具有操作简单、运行速度快、标定精度高等特点。 为了达到上述目的，本发明的技术方案是这样实现的：一种基于相位辅助的二阶有理模型投影仪标定方法，其步骤如下： 步骤S1：制作同心圆阵的标定板； 步骤S2：搭建包括相机、投影仪的面结构光三维检测系统，在工作台放置步骤S1中的标定板，调整投影仪位置使其对焦在同心圆阵标定板并保证相机可拍摄到投影仪的全部投射幅面； S3：将标定板的有效区域放置于相机可视范围，投影仪分别投射横向和纵向的格雷编码光栅与正弦光栅条纹的图案至标定板，由相机采集标定板的图片；多次变换标定板的位姿，获得多幅标定板图像，重复此步骤不少于三次； S4：对每组标定板图像进行相位计算得到每组标定板图像的标定板的圆心位置的横向绝对相位图与纵向绝对相位图；根据圆心提取算法求取同心圆阵的圆心相机图像坐标(u0,v0)，并将圆心相机图像坐标(u0,v0)映射至横向绝对相位图及纵向绝对相位图，得到每个圆心相机图像坐标对应的绝对相位值[φ(s),φ(t)]； S5：由每组标定板图像的同心圆阵的圆心位置像素级的圆心坐标与其对应的绝对相位值[φ(s),φ(t)]拟合建立二阶有理模型； S6：将圆心相机图像坐标(u0,v0)代入二阶有理模型求取绝对相位值[φ(s)0,φ(t)0]，将其转换得到投影仪图像坐标(s,t)，完成投影仪标定。 优选地，所述同心圆阵为同心圆构成的矩形阵，每一行和每一列的同心圆的圆心在一条直线上，其中有5个基准同心圆和多个参考同心圆，基准同心圆的最外圆直径大于参考同心圆的最外圆直径、小于相邻同心圆点间距，基准同心圆在一条直线上不超过两个，且基准同心圆和参考同心圆的同心圆区域与背景反色。 优选地，所述同心圆阵共有99个同心圆组成9×11的矩形阵，以第1行、9行以及第1列、11列的同心圆定义为边界同心圆，以边界同心圆分别在x,y方向上向外1个圆心距组成的矩形区域为标定板的有效区域。 优选地，所述相机和投影仪由夹具机构夹紧放置，且相机倾斜放置，投影仪的镜头正对工作台；所述相机与投影仪以及标定板的关系为投影仪投射的光栅条纹以及标定板的特征点被相机拍摄；相机与投影仪通过连接线分别与电脑相连接。 优选地，所述投影仪向标定板的有效区域分别投射横向和纵向的7幅格雷编码光栅图案与4幅3个频率的四步相移正弦光栅条纹；格雷编码光栅的最小周期是正弦光栅周期的4倍。 优选地，在格雷编码与正弦光栅结合求取绝对相位时，采用互补格雷码方式，在6位格雷码光栅图案的基础上，额外投射一张条纹宽度为6位格雷码一半的互补格雷码图，即7位格雷码图编码光栅图案；正弦光栅包裹相位取值范围为(-π,π)，在区间(-π/2,π/2)对前6位格雷码光栅图案解码，在区间(-π,-π/2]，[π/2,π)对7幅格雷码编码光栅图案进行解码，以此得到连续、无歧义的绝对相位。 优选地，所述横向绝对相位图与纵向绝对相位图的计算方法为：相机拍摄黑色、白色各一幅图片，将两张图片灰度平均值作为格雷编码二值化处理的阈值，对四步相移解码求取包裹相位，通过格雷编码条纹阶次确定相位展开周期，利用解码周期相位展开得到绝对相位图； 所述圆心相机图像坐标(u0,v0)为亚像素级，绝对相位图的映射关系为像素级，将圆心坐标取整转换为像素级得到圆心坐标(u,v)，得到横向绝对相位图和纵向绝对相位图中每个圆心坐标(u,v)对应的绝对相位值[φ(s),φ(t)]。 优选地，所述建立二阶有理模型的方法为： 利用绝对相位值[φ(s),φ(t)]和圆心坐标(u,v)代入二阶有理函数： 其中，φ(s)和φ(t)分别为水平和垂直方向的展开相位，(u,v)表示像素级的圆心坐标，a0＝1，a0～a5、b1～b5、c1～c5都为常数系数； 利用最小二乘法求解各项常数系数，得到的二阶有理函数即为二阶有理模型。 优选地，各项常数系数的求解方法为：将二阶有理函数转换为最小二乘法矩阵形式，令： 方程组记为：X·A＝Y； 使用奇异值分解矩阵X降低最小二乘条件数：X＝USVT； 其中，U为特征向量XXT张成的一个矩阵，V为特征向量XTX张成的一个矩阵，矩阵U与矩阵V都是正交矩阵，S为XXT或XTX特征值的平方根即奇异值； 联合得到：A＝VS-1U'Y，即得到各项常数系数的结果。 优选地，所述步骤S6的实现方法为：将圆心相机图像坐标(u0,v0)代入二阶有理模型计算出其对应的绝对相位值[φ(s)0,φ(t)0]，转换为投影仪图像坐标(s,t)为： 其中，(s,t)表示投影仪图像的坐标，M,N分别为投影仪图像中水平和垂直方向的光栅的条纹宽度。 本发明的有益效果：本发明首先制作同心圆阵标定板并将其放置于相机可视范围内，投影仪分别向标定板投射格雷编码与正弦光栅条纹至标定板；其次将光栅条纹相位展开获得绝对相位，提取同心圆点图像坐标并映射得到每个圆心位置的绝对相位值，由标定板的圆心位置坐标与其对应的绝对相位值拟合建立二阶有理模型，将亚像素级相机坐标代入二阶有理模型转换得到投影仪图像坐标，完成投影仪标定。本发明在使用同心圆阵标定板提取圆心坐标时，避免了棋盘格过渡带问题，精度更高；既具有格雷编码的高鲁棒性与抗噪能力又能够弥补单独的格雷编码或相移编码不连续位置难以重建问题；投影仪标定结果与相机标定结果无关，避免相机标定误差的延续；通过建立有理函数模型的方式进行投影仪标定，在透镜畸变的影响下仍可完成高精度标定，降低了标定的步骤流程，通过实验表明：在提高标定精度的同时，还可极大减少程序运行时间。 The invention provides a second-order rational model projector calibration method based on phase assistance. The method comprises the following steps: manufacturing a calibration plate of a concentric circle array; the effective area of the calibration board is placed in the visual range of the camera, and the projector respectively projects transverse and longitudinal Gray codes and sinusoidal grating stripes to the calibration board; converting the pose of the calibration plate to obtain a plurality of calibration plate images; performing phase calculation on each group of calibration plate images to obtain transverse and longitudinal absolute phase values of the circle center position of the calibration plate; calculating calibration plate circle center camera image coordinates according to a circle center extraction algorithm, and mapping to obtain an absolute phase value corresponding to each circle center camera image coordinate; and establishing a second-order rational model by fitting the coordinates of the circle center position of the calibration plate and the corresponding absolute phase value, substituting the coordinates of the sub-pixel-level camera into the second-order rational model, and converting to obtain the coordinates of the projector image, thereby completing the calibration of the projector. According to the method, the step flow of calibration is reduced, and the program running time can be greatly shortened while the calibration precision is improved. 1.一种基于相位辅助的二阶有理模型投影仪标定方法，其特征在于，其步骤如下： 步骤S1：制作同心圆阵的标定板； 步骤S2：搭建包括相机、投影仪的面结构光三维检测系统，在工作台放置步骤S1中的标定板，调整投影仪位置使其对焦在同心圆阵标定板并保证相机可拍摄到投影仪的全部投射幅面； S3：将标定板的有效区域放置于相机可视范围，投影仪分别投射横向和纵向的格雷编码光栅与正弦光栅条纹的图案至标定板，由相机采集标定板的图片；多次变换标定板的位姿，获得多幅标定板图像，重复此步骤不少于三次； S4：对每组标定板图像进行相位计算得到每组标定板图像的标定板的圆心位置的横向绝对相位图与纵向绝对相位图；根据圆心提取算法求取同心圆阵的圆心相机图像坐标(u0,v0)，并将圆心相机图像坐标(u0,v0)映射至横向绝对相位图及纵向绝对相位图，得到每个圆心相机图像坐标对应的绝对相位值[φ(s),φ(t)]； S5：由每组标定板图像的同心圆阵的圆心位置像素级的圆心坐标与其对应的绝对相位值[φ(s),φ(t)]拟合建立二阶有理模型； S6：将圆心相机图像坐标(u0,v0)代入二阶有理模型求取绝对相位值[φ(s)0,φ(t)0]，将其转换得到投影仪图像坐标(s,t)，完成投影仪标定。 2.根据权利要求1所述的基于相位辅助的二阶有理模型投影仪标定方法，其特征在于，所述同心圆阵为同心圆构成的矩形阵，每一行和每一列的同心圆的圆心在一条直线上，其中有5个基准同心圆和多个参考同心圆，基准同心圆的最外圆直径大于参考同心圆的最外圆直径、小于相邻同心圆点间距，基准同心圆在一条直线上不超过两个，且基准同心圆和参考同心圆的同心圆区域与背景反色。 3.根据权利要求2所述的基于相位辅助的二阶有理模型投影仪标定方法，其特征在于，所述同心圆阵共有99个同心圆组成9×11的矩形阵，以第1行、9行以及第1列、11列的同心圆定义为边界同心圆，以边界同心圆分别在x,y方向上向外1个圆心距组成的矩形区域为标定板的有效区域。 4.根据权利要求2或3所述的基于相位辅助的二阶有理模型投影仪标定方法，其特征在于，所述相机和投影仪由夹具机构夹紧放置，且相机倾斜放置，投影仪的镜头正对工作台；所述相机与投影仪以及标定板的关系为投影仪投射的光栅条纹以及标定板的特征点被相机拍摄；相机与投影仪通过连接线分别与电脑相连接。 5.根据权利要求4所述的基于相位辅助的二阶有理模型投影仪标定方法，其特征在于，所述投影仪向标定板的有效区域分别投射横向和纵向的7幅格雷编码光栅图案与4幅3个频率的四步相移正弦光栅条纹；格雷编码光栅的最小周期是正弦光栅周期的4倍。 6.根据权利要求5所述的基于相位辅助的二阶有理模型投影仪标定方法，其特征在于，在格雷编码与正弦光栅结合求取绝对相位时，采用互补格雷码方式，在6位格雷码光栅图案的基础上，额外投射一张条纹宽度为6位格雷码一半的互补格雷码图，即7位格雷码图编码光栅图案；正弦光栅包裹相位取值范围为(-π,π)，在区间(-π/2,π/2)对前6位格雷码光栅图案解码，在区间(-π,-π/2]，[π/2,π)对7幅格雷码编码光栅图案进行解码，以此得到连续、无歧义的绝对相位。 7.根据权利要求6所述的基于相位辅助的二阶有理模型投影仪标定方法，其特征在于，所述横向绝对相位图与纵向绝对相位图的计算方法为：相机拍摄黑色、白色各一幅图片，将两张图片灰度平均值作为格雷编码二值化处理的阈值，对四步相移解码求取包裹相位，通过格雷编码条纹阶次确定相位展开周期，利用解码周期相位展开得到绝对相位图； 所述圆心相机图像坐标(u0,v0)为亚像素级，绝对相位图的映射关系为像素级，将圆心坐标取整转换为像素级得到圆心坐标(u,v)，得到横向绝对相位图和纵向绝对相位图中每个圆心坐标(u,v)对应的绝对相位值[φ(s),φ(t)]。 8.根据权利要求5、6、7中任意一下锅所述的基于相位辅助的二阶有理模型投影仪标定方法，其特征在于，所述建立二阶有理模型的方法为： 利用绝对相位值[φ(s),φ(t)]和圆心坐标(u,v)代入二阶有理函数： 其中，φ(s)和φ(t)分别为水平和垂直方向的展开相位，(u,v)表示像素级的圆心坐标，a0＝1，a0～a5、b1～b5、c1～c5都为常数系数； 利用最小二乘法求解各项常数系数，得到的二阶有理函数即为二阶有理模型。 9.根据权利要求8所述的基于相位辅助的二阶有理模型投影仪标定方法，其特征在于，各项常数系数的求解方法为：将二阶有理函数转换为最小二乘法矩阵形式，令： 方程组记为：X·A＝Y； 使用奇异值分解矩阵X降低最小二乘条件数：X＝USVT； 其中，U为特征向量XXT张成的一个矩阵，V为特征向量XTX张成的一个矩阵，矩阵U与矩阵V都是正交矩阵，S为XXT或XTX特征值的平方根即奇异值； 联合得到：A＝VS-1U'Y，即得到各项常数系数的结果。 10.根据权利要求9所述的基于相位辅助的二阶有理模型投影仪标定方法，其特征在于，所述步骤S6的实现方法为：将圆心相机图像坐标(u0,v0)代入二阶有理模型计算出其对应的绝对相位值[φ(s)0,φ(t)0]，转换为投影仪图像坐标(s,t)为： 其中，(s,t)表示投影仪图像的坐标，M,N分别为投影仪图像中水平和垂直方向的光栅的条纹宽度。水平方向平均值 垂直方向平均值 水平方向标准差 垂直方向标准差 方法一 0.21136 0.20265 0.02479 0.23820 方法二 0.05779 0.05810 0.07232 0.07379 方法三 0.06238 0.05771 0.07999 0.07366 本发明 0.05447 0.05180 0.06903 0.06476 方法一 方法二 方法三 本发明 耗时 1.689 5.871 7.845 1.613